Matemáticas Y Diversión 5. Recipientes, Bidones O Garrafas

En una ocasión, con motivo de vadear en el instituto uno de esos engorrosos días festivos/lectivos en los que los alumnos son propulsados al centro sin otra misión que solazarse una mañana en honor de san Atorio (santo patrono de los tuberculosos), o del Día Mundial del Embutido, no me acuerdo, el caso es que organizamos una gymkana, con unos modestos premios, para tener al personal entretenido y evitar que se dieran a esos juegos violentos con los que los adolescentes acostumbran a relajarse.

Cada departamento preparó una prueba y los de matemáticas, siempre aguando la fiesta, incurrimos en el viejo encargo de mandar al personal a la fuente a por una cantidad concreta de agua con los recipientes menos apropiados.
 

Se les daba un bidón de ocho litros de capacidad y otro de cinco y se les encargaba traer un litro exacto de agua. Los más astutos, lo medían a ojo de buen cubero y, si bien es verdad que traían una cantidad muy aproximada, no les dábamos por buena la prueba sin la explicación de cómo habían procedido. Lo que se esperaba es que fueran capaces de anotar algo parecido a esto:

Llenamos el bidón de 8 litros y lo vaciamos en el de cinco. En el de 8 quedan tres.

 

Vaciamos el de cinco y le echamos esos 3. Volvemos a llenar el de 8.

Ahora, en el de 5, caben 2 más. Lo llenamos con el de 8 y, en éste, nos quedarán 6.

Vaciamos el de 5 y, al volverlo a llenar con el contenido del otro, en éste, el de ocho, nos quedará justamente un litro, que es el que entregamos muy ufanos.

 

Para nuestra sorpresa, el número de equipos participantes que superó esta prueba fue bastante escaso. Y es que las matemáticas, como todo el mundo sabe, tienen su dificultad.

Reflexionando luego sobre la catástrofe, caí en la cuenta de que podíamos haber pedido cualquier número de litros entre 1 y 13. La prueba con 5, 8 ó 13 hubiera sido demasiado fácil. Pero yo invito al lector a resolverla para 2, 3, 4, 6, 7, 9,10, 11 ó 12 litros. Palabra que es muy sencillo.

 

Y ahora me pregunto (porque no lo sé) en qué condiciones, con dos recipientes de capacidades a y b, siendo a y b números enteros mayores de 1, se podría traer cualquier cantidad exacta de litros comprendida entre 1 y a+b. Una condición evidente que se me ocurre es que a y b habrían de ser primos entre sí: con dos bidones de 6 y 8 litros no se puede, trasvasando de ninguna manera, traer 1 litro de agua (o tres, prueba).

Por ejemplo, si uno está lo bastante cachas, con recipientes de 11 y 15 litros, ¿podría traer cualquier cantidad exacta comprendida entre 1 y 26 litros? Sospecho que sí, pero lo dejaré abierto.